Question

一道高数极限的题

当x趋向于2时，y=x的平方趋向于4，问“乃木大”等于多少，则当|x-2|<乃木大 时，|y-4|<0.001?? 答案是0.002 不知道怎么计算...求教

Answer 1

【一】
① 对 ε=0.001>0 ，
要使： |x^2-4| < ε=0.001 成立，
令： |x-2|< 1 ，则：|x+2|=|4+(x-2)|≤ 4+|x-2|<5；
此时只要：|x^2-4|=|x+2|*|x-2|< 5*|x-2|<ε=0.001，
即满足：|x-2|<ε/5=0.001/5=0.0002
即只要：|x-2| < min{ 1 ,ε/5=0.0002} =0.0002 即可 ；

② 故存在 δ = 0.0002 > 0 ,

③ 当 |x-2|<δ 时，

④ 恒有： |x^2-4| < ε=0.001 成立。

【二】
求证：lim(x->2) x^2 = 4
证明：
① 对任意 ε>0 ，
要使： |x^2-4| < ε 成立，
令： |x-2|< 1 ，则：|x+2|=|4+(x-2)|≤ 4+|x-2|<5；
此时只要：|x^2-4|=|x+2|*|x-2|< 5*|x-2|<ε，
即只要：|x-2| < min{ 1,ε/5} 即可 ；

② 故存在 δ = min{ 1,ε/5} > 0 ,

③ 当 |x-2|<δ 时，

④ 恒有： |x^2-4| < ε 成立。

∴ lim(x->2) x^2 = 4