Question

已知函数f（x）=x^3+ax^2+bx+c在x=-2/3与x-1时都取得极值。 （1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间。

(2)若对x属于[-1，2]，不等式f(x)<c^2恒成立，求c的取值范围。

Answer 1

(1) 因为f(x)在x=-2/3 与x=1时都取得极值 所以f'(-2/3)=0 ,f'(1)=0
解得a=1/2 b=-2
所以f'(x)=3x^2-x-2 当x<-2/3或x>1时，f(x)单调递增，反之则递减
（2）令f'(x)=0 x=1,-2/3 ,因为f''(1)>0 所以f(1)是极小值 舍去 f''(-2/3)<0,所以是极大值，f(-2/3)=22/27 -c 又f(-1)=1/2 -c f(2)=2- c
要使原命题恒成立，即 max[f(x)]<c^2 即 f(2)<c^2 解得c<-2或c>1

Answer 2

第一问：对f(x)进行求导得f'(x)=3x^2+2ax+b
令上式=0，并带入x=-2/3和x=1
解这个二元一次方程，得a=-1/2，b=-2
第二问：所以，函数g(x)=x^3-1/2x^2-2x，x属于[-1,2]的最大值和最小值是g(1)=-3/2，最大值是g(2)=2
要f(x)<c^2恒成立，就要c^2-c-g(x)>0恒成立
即(c-1/2)^2>[g(x)+1/4]恒成立
所以[g(x)+1/4]属于[-5/4,9/4]
左边要恒大于右边，那么左边一定要大于右边的最大值
故(c-1/2)^2>9/4求c的取值范围
得c属于(负无穷,-1]和[2,正无穷)