Question

高一函数数学题

已知f(x)的定义域为（0，+∞），且是单调函数，并且满足f(2)=1，f(x/y)=f(x)-f(y)，若fx)-f(x+3)≤2，求x的取值范围。

Answer 1

首先要注意定义域x+3＞0，x＞0∴x＞0
f(x)-f(x+3)≤2
f(x)-1-f(x+3)≤1
f(x)-f(2)-f(x+3)≤f(2)
f(x／2)-f(x+3)≤f(2)
f(x／2x+6)≤f(2)
根据单调性
f(2)=1而当x=y时，f（1）=f（x）-f（x）=0
所以这是个单调递增的函数
x／2x+6≤1
解得x≤-6或x＞-3，结合定义域解为x＞0
PS：注意舍去分母为零的情况

Answer 2

∵f(2)=1
∴2f（2）=2
f（2）=2-f（2)
由f(x/y)=f(x)-f(y)可得
2=f(4)
所以fx)-f(x+3)≤f(4)
f【x/（x+3）】≤f（4）
（1）若f（x）为单调增函数
则x/（x+3）≤4
x≥-4
又因为x＞0
所以x＞0
（2）若f（x）为单调减函数
则x/（x+3）≥4
x≤-4
舍去

综上
x＞0