Question

若函数y=a^2x+2a^x-1(a>0且a≠1）在x∈[-1,1]的最大值为14，求a的值

Answer 1

解：
设t=a^x，则函数为y=a^2x+2a^x-1=t^2+2t-1=（t+1）^2-2

由方程y=t^2+2t-1可知曲线为开口向上，且过点（0,-1）的抛物线

显然y=t=a^x>0，所以原函数y=a^2x+2a^x-1曲线在y轴的右边(增函数)；

要想原函数y=a^2x+2a^x-1取得最大值，则要y=t=a^x取最大值，

在区间∈[-1,1]上，当a>1时,y=t=a^x(增函数)有最大值a; (1)

当0<a<1时,y=t=a^x(减函数)有最大值1/a. (2)

分别将y=t=a或1/a代入（t+1）²-2=14

可得a=3或a=1/3。

Answer 2

1)a>1时，令t=a^x,t∈[1/a,a]
因为对称轴为t=-1,1/a>0
所以y=t^2+2t-1在[1/a,a]递增
y(max)=f(a)=a^2+2a-1=14 =>a=3或-5(舍)

2)0<a<1时,令t=a^x,t∈[a,1/a]
因为对称轴为t=-1,a>0
所以y=t^2+2t-1在[a,1/a]递增
ymax=f(1/a)=14 =>a=1/3

综上，存在a=3 或1/3

如果您有什么疑问,请短消息给我

Answer 3

设t=a^x,则y=t^2+2t-1,
a>1时t∈[1/a,a],y↑，y|max=a^2+2a-1=14,
a^2+2a-15=0,a=3;
0<a<1时，t∈[a,1/a],y|max=1/a^2+2/a-1=14,
(1/a)^2+2/a-15=0,1/a=3,a=1/3.
综上，a=3,或a=1/3.