Question

不等式求证

已知a≠b,求证：a^4+b^4>a^3b+ab^3

Answer 1

（一）预备知识：当x≠1时，有x^4+1＞x³+x.证明：x^4+1＞x³+x.<===>x^4-x³＞x-1.<===>x³(x-1)-(x-1)＞0.<===>（x-1)(x³-1)＞0.<===>(x-1)²(x²+x+1)＞0.<===>(x-1)²[(x+0.5)²+(3/4)]＞0.∵x≠1,∴(x-1)²[(x+0.5)²+(3/4)]＞0.即x^4+1＞x³+x.(二）∵a≠b,∴a,b至少有一个不为0，不妨设b≠0.则(a/b)≠1,∴(a/b)^4+1＞(a/b)³+(a/b).两边同乘以b^4.得a^4+b^4＞a³b+ab³.

Answer 2

因为a≠b,a^4+b^4>2a^2*b^2
又因为2a^2*b^2=2ab*ab>(a^2+b^2)*ab=a^3b+ab^3
即a^4+b^4>a^3b+ab^3

Answer 3

排序不等式，
令a>b
则a^3>b^3
a*a^3+b*b^3>a*b^3+b*a^3
a^4+b^4>a^3b+b^3a