Question

设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x》0时，f(x)=x²，诺对任意的X∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成

立，则实数t的取值范围是多少

Answer 1

f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x²，
∴当x<0时-x>0,f(x)=-f(-x)=-(-x)^2=-x^2,
f(0)=0.
对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成
立,以下分几种情况：
1）t>=0时（x+t)^2>=2x^2,x^2-2tx-t^2<=0,
(t+2)^2-2t(t+2)-t^2<=0,t^2>=2,t>=√2；
2)t<=-2,-(x+t)^2<=-2x^2,x^2-2tx-t^2>=0,
t^2-2t^2-t^2>=0,不可能。
3）-2<t<0时，
i)t<x<0,x+t<0,仿2），不可能。
ii)0<=x<t+2,
A.x+t<0,-(x+t)^2>=2x^2,3x^2+2tx+t^2<=0,不可能；
B.x+t>=0,(x+t)^2>=2x^2,仿1），t^2>=2,-2<t<=-√2.
综上，t>=√2，或-2<t<=-√2，为所求。