Question

求三角形面积的最小值

一个90°角内部一点，到角的两边距离分别是3和5，过该点的直线和角的两边分别相交，两个交点和角的顶点组成三角形，求该三角形的面积的最小值。

Answer 1

以角的顶点为原点O，角的两条边为坐标轴，建立直角坐标系。
则可设角内部的点的坐标为(5,3)。
过该点的直线方程为：y-3 = k(x-5) （k为斜率），
直线与x轴交点A的坐标为 (5-3/k,0)，与y轴交点B的坐标为 (0,3-5k)，
△OAB的面积为：S = (1/2)(5-3/k)(3-5k) ，
整理可得：25k²+2(S-15)k+9 = 0 ，
依题意，k有实数根，
则判别式 4(S-15)²-900 ≥ 0 ；
解得：S ≥ 30 （舍去 S ≤ 0 ）；
所以，三角形的面积的最小值为 30 。