Question

已知函数f(x)是定义在R上的函数，若对于任意x，y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，有f(x)＞0. (1)判断

已知函数f(x)是定义在R上的函数，若对于任意x，y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，有f(x)＞0.

(1)判断函数奇偶性；

(2)判断函数f(x)在R上是增函数，还是减函数，并证明你的结论。

Answer 1

（1），奇函数
（2）令X=X1,Y=-X2,X1>X2,因为F(X+Y)=F(X)+F(Y),即F(X1-X2)=F(X1)+F(-X2).即F(X1-X2)=F(X1)-F(X2).因为X1>X2,所以X1-X2>0.所以F(X1-X2)>0,即F(X1)>F(X2).
因为X1>X2,F(x1)>F(X2).所以函数F(X)在R上单调增