Question

高二的一道椭圆数学题，望您解答！

椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3，过右焦点F且斜率为K(K>0)的直线交C于A、B两点，向量AF=3向量FB，求K。

Answer 1

由于e=√3/2，所以不妨设a=2,c=√3,于是椭圆方程变为x²/4+y²=1 ……①
这是一个定比分点弦的问题，设直线方程为 x=√3+t,y=kt,
与椭圆方程①联立，并整理，得到
(4k²+1)t²+2√3t-1=0 ……②
根据向量AF=3向量FB，有tA=-3tB,与②联合，得到
(-2√3-√△)/[2(4k²+1)] = -3 (-2√3+√△)/[2(4k²+1)]
化简，有△=4·(2√3)²
也就是12+4(4k²+1)=4·12
解得k²=2,由于k>0,因此k=√2.