Question

矩阵问题

f(x)=ak x^k +a(k-1) x^(k-1)....+a0 A为n阶矩阵，若f(A)=O，则A可逆 并写出A的逆

注意前面k和k-1是下标

Answer 1

f(A)=O
单位阵为E

f(x)的常数项a0非零

f(A)=ak×A^k +a(k-1)×A^(k-1)+...+a1×A+a0×E=0
将上式中得a0×E移项，剩余部分提取公因子A,得到
[ak×A^(k-1) +a(k-1)×A^(k-2)+...+a1×E]A=-a0E

（-1/a0）[ak×A^(k-1) +a(k-1)×A^(k-2)+...+a1×E]A=E
所以A可逆，并且A的逆矩阵为
（-1/ao）[ak×A^(k-1) +a(k-1)×A^(k-2)+...+a1×E]