Question

【高中数学立体几何】

在如图所示的空间几何体中，△ABC，△ACD都是等边三角形，AE=CE，DE‖平面ABC，平面ACD⊥平面ABC。
（1）求证：DE⊥平面ACD。
（2）若AB=BE=2，求多面体ABCDE的体积。

Answer 1

（1）取AC中点O
有 EO⊥AC D0⊥AC
所以AC⊥面DOE
所以AC⊥DE
又DE‖平面ABC所以DE‖BO
因为BO⊥平面ACD
所以DE⊥平面ACD
（2）
DE=√3-1
所以VACDE=[2*√3/2*(√3-1)]/3
VABCE=[2*√3/2*√3]/3
所以V总=2-√3/3

Answer 2

（1）因为DE‖平面ABC，平面ACD⊥平面ABC 所以DE⊥平面ACD
（2）用切割法，切割成E-DAC 和E—ACB
V E-DAC =（√3-1）×√3×（1/3)=1-(√3)/9
VE—ACB =√3×√3×（1/3)=1
V ABCDE=1-(√3)/9+1=2-(√3)/9

Answer 3

(1)
取AC中点为F，连接BF和DF
∵ED||平面ABC 又∵BF∈平面ABC
∴ED||BF
∵△ABC为等边三角形F为AC的中点
∴BF⊥AC
又∵平面ACD⊥平面ABC
∴DF⊥平面ABC ∴DF⊥BF
又∵BF⊥AC BF⊥DF
∴BF⊥平面ACD
(2)
过E做EH⊥平面ABC
多面体ABCDE的体积= ABCD的体积+ACDE的体积 高就是上题中的DF我就不证明了
ABCD的体积=1/3三角形ABC的面积*高=1/3*√3*√3=1
ACDE的体积=1/3三角形ABC的面积*高=1/3*√3*(√3-1)=1-√3/3
多面体ABCDE的体积为2-√3/3

Answer 4

1取AC中点为F，连接BF和DF
∵ED||平面ABC 又∵BF∈平面ABC
∴ED||BF
∵△ABC为等边三角形F为AC的中点
∴BF⊥AC
又∵平面ACD⊥平面ABC
∴DF⊥平面ABC ∴DF⊥BF
又∵BF⊥AC BF⊥DF
∴BF⊥平面ACD
(2)
过E做EH⊥平面ABC
多面体ABCDE的体积= ABCD的体积+ACDE的体积 ABCD的体积=1/3三角形ABC的面积*高=1/3*√3*√3=1
ACDE的体积=1/3三角形ABC的面积*高=1/3*√3*(√3-1)=1-√3/3
多面体ABCDE的体积为2-√3/3