Question

一次函数求最值问题经典例题

Answer 1

一般地说，一次函数的图象为一条直线，似乎与最值“无缘”，然而，在实际问题中，由于自变量取值范围的限制，其函数图象局限于某一线段或射线，从而存在最值．下面举例说明．
例1 电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧．经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集．
（1）设一周内甲连续剧播x集，甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为y万人次，求y关于x的函数关系式．
（2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值．
解：（1）设甲连续剧一周内播x集，则乙连续剧播（7－x）集．
根据题意得y＝20x＋15（7－x）．
所以 y＝5x＋105．
（2）由题意得50x＋35（7－x）≤300．
解得 ．
又y＝5x＋105的函数值随着x的增大而增大，且 x为自然数．
所以当x＝3时，y有最大值3×5＋105＝120（万人次）．
答：电视台每周应播放甲连续剧3集，播放乙连续剧4集，才能使每周收视观众的人次总和最大，这个最大值是120万人次．
例2 某家庭装修厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50块，价格为30元；小包装每包30块，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?
解：根据题意，可有三种购买方案；
方案一：只买大包装，则需买包数为 ；
由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300（元）．
方案二：只买小包装．则需买包数为： ．
所以需买16包，所付费用为16×20＝320（元）．
方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装x 包，小包装y包，所需费用为W元．则
．
50x+30y=480可变形为 ．
代入W=30x+20y得 ．
因为0<50x<480，即0<x<9.6，且x为正整数，
所以 x=9时，W最小＝290（元）．
所以购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元．
答：购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元．

Answer 2

例1 某报亭从报社买进某种日报的价格是每份0.30元，卖出的价格是每份0.50元.卖不出的报纸可以按每份0.10元的价格退还给报社，经验表明，在一个月（30天）里，有20天只能卖出150份报纸，其余10天每天可以卖出200份.设每天从报社买进报纸的份数必须相同，那么这个报亭每天买进多少份报纸才能使每月所获润最大？最大利润是多少？
分析：要确定每天买进报纸的份数，首先应根据问题的现实意义，确定每天买进报纸的份数在150 ~ 200之间，然后建立函数关系解答.
解：设该报亭每天从报社买进报纸x份，所获利润为y元，
根据题意，得y = 20×(0.50 - 0.30)×150 + 20×(0.10 - 0.30)(x - 150) +10×(0.50 - 0.30)x.
即y = - 2x + 1 200(150 ≤ x ≤ 200).
由k， = - 2 < 0可知，当150 ≤ x ≤ 200时，y随x的增大而减小
所以当x = 150时，y有最大值.
其最大值为 - 2×150 + 1 200 = 900(元).
例2 某水果销售公司，准备从外地购买西瓜31吨，柚子12吨，现计划租甲、乙两种货车共10辆，将这批水果运回，已知甲种货车可装西瓜4吨和柚子1吨，乙种货车可装西瓜、柚子各2吨.
（1）该公司安排甲、乙两种货车时有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费1 800元，乙种货车每辆要付运输费1 200元，则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？