Question

如何利用y=arctan x画出y=arccot x的图象? 我推出y=arccot x=arctan 1/x结果好象不太对呀 请各位指教!

我想用sin,cos,tan的函数和反函数表示y=arccotx
已经得到一个表达式可以表示
y=(pi/2)-arctanx
可是我换个角度推导
y=cotx=1/tanx
那么tanx=1/y
x=arctan1/y
->y=arctan1/x
可是用几何画板画图得到的两个图却不同，这是为什么？

Answer 1

arctan(x)这种函数是多值函数，同一个x值对应于很多的y值。
比如 arcsin(x),x取【-1,1】，对于每一个x值，y其实有很多，但我们习惯上取了y在[-pi/2,pi/2]的区间。

你得到的两个图，相当于取了不一样的值域区间，要是把每个区间都补完，你会发现他们是一样的。

你得到的都是正确的结果，只不过你还没看明白。
图像：图像向上和向下以pi为单位平移，得到的完整图像，两个图是一样的。
式子：说明(pi/2)-arctanx=arctan1/x
当 x>0,它恰是满足的。

假如 考虑到多值函数的完整表示，
反正切应表示为 y=n*pi+arctan(x) (n取所有整数，arctan(x)取[-pi/2,pi/2])
那么,两式应分别表示为：
y=(pi/2)-arctanx+n*pi (n取所有整数)
y=arctan1/x+m*pi (m取所有整数)
这样两式是相等的
因为
arctan(1/x)=
pi/2-arctan(x) (x>0)
-(pi/2+arctan(x)) (x<0)

所以两式相等