△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点D在边BC上，且BD=4，以点D为顶点作∠EDF=∠B，分别叫AB于E，交射线CA于点F
解：
1，
∵∠BDF是△CDF的外角
∴∠BDF=∠C+∠CFD
又AB=AC，∠B=∠C
∴∠BDF=∠B+∠CFD
又∠BDF=∠BDE+∠EDF
又∠EDF=∠B
∴∠BDE=∠CDF
∴△BDE∽△CFD（两角相等，三角形相似）
∴BE/CD=BD/CF
∵AE=6,BE=AB-AE=10-6=4,BD=4,CD=BC-BD=12-4=8
∴CF=BD*CD/BE=4*8/4=8
∴AF=AC-CF=10-8=2
2
由题意以点C为圆心长CF为半径的圆C和以点A为圆心AE长为半径的圆A相切得：
AC=AE+CF
又AB=AE+BE
∵AB=AC
∴BE=CF
由1知：BE/CD=BD/CF
∴BE/CD=BD/BE
∴BE=√（CD*BD）=√（4*8）=4√2
3
取AC中点O,作OM⊥BC于M；作AN⊥BC于N;
∵AN=√(AC²-CN²)=√（10²-6²）=8
又O为AC中点，∴M为CN中点，∴MN=CN/2=3
又DN=BN-BD=6-4=2
∴DM=DN+NM=2+3=5
过D作DP⊥BC交AB于P, 过O作OQ⊥DP交DP于Q，可知：
OQ=DM=5;
∴点O到直线DP的距离为5；
∴边AC为直径的圆O与直线DP相切；
∴当AB上的点E与点P重合时，DE就与以AC为直径的圆相切；
此时，∵BD/DN=4/2=2
∴BE/AE=2,又AE+BE=10
∴BE=20/3
但点E如果不与点P重合，是否还存在满足条件的E点呢？
作图可以看出，过点D且与圆O相切的直线还有一条，但是该直线的切点不在线段DE上，故不满足条件；如果本题是以AC为直径的圆O与直线DE相切的话，还得再求另外一个条直线，那就相当复杂了，如图所示：
附：本题最后一问考察的是一种猜题的能力，就是先猜出结论P点满足条件，再去论证的（论E点与P点重合时满足条件），这样的试题难度颇大，要想事先猜对必须画图画正确了，如果画图不规范，可就太难解出来了。
