Question

用定义域证明：函数f(x)=x3在其定义域上是增函数

Answer 1

设x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3
(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2）
(x1-x2)<0
(x1^2+x1x2+x2^2）>0
所以f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
所以是增函数

Answer 2

设x1，x2∈(-∞，∞)，且x1 < x2，则有：
x2－x1 > 0
∴f(x2)－f(x1)＝(x2)^3－(x1)^3＝(x2－x1)·[(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2]

(1)当x1，x2同号时，即x1·x2 > 0，则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2－2·x2·x1＋(x1)^2＋3·x2·x1＝(x2－x1)^2＋3·x1·x2
∵(x2－x1)^2 ≥ 0，3·x1·x2 > 0
∴(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
(2)当x1，异号时，即x1·x2 < 0，则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2＋2·x2·x1＋(x1)^2－x2·x1＝(x2＋x1)^2－x1·x2
∵(x2－x1)^2 ≥ 0，-x1·x2 > 0
∴(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
(3)当x1＝0，x2 > 0时，则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2 > 0
(4)当x2＝0，x1 < 0时，则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x1)^2 > 0
综上所述，(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
∴(x2－x1)·[(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2] > 0
即f(x2)－f(x1) > 0
∴f(x)＝x^3在(-∞，∞)单调递增