Question

已知函数f（x）定义域为R，对任意x,y属于R有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y),且f(0)不等于0。

若存在常数C，使f(c/2)=0.求证：对任意x属于R，有f（x+c）=-f（x）。

Answer 1

令y=0代入f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y)
则2f(x)=2f(x)^2,所以f(x)=f(x)^2,所以f(x)=0或1
令y=c/2代入f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y)
则f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2)=0
所以f(x+c/2)^2+f(x-c/2)^2=0
所以f(x+c/2)=f(x-c/2)=0{x不等于正负c/2}
令x=x+c/2所以f(x+c)=f(x)=0=-f(x){x不等于0或-c}
下面只需证f(c)=-f(0)=-1和-f(-c)=f(0)=1
即证f(c)=f(-c)=-1
令x=y=c/2,代入f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y)
得f(c)+f(0)=2f(c/2)^2=0,因为f(0)=1,所以f(c)=-1
令x=c,y=c,代入f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y)
得f(2c)+f(0)=2f(c)^2=2
令x=c,y=-c,代入f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y)
得f(0)+f(2c)=2f(c)f(-c)=2,因为f(c)=-1,所以f(-c)=-1
所以对任意x属于R,有f（x+c）=-f（x）

Answer 2

令x=y=0，得2f(0)=2*[f(0)]^2
且f(0)不等于0
所以f(0)=1
令x=0
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),所以
f(x)为偶函数，从而
f(x+c)+f(x)=f(x+c)+f(-x)=2f(c/2)f(x+c/2)=0,
所以有f(x+c)=-f(x)成立

所以对任意x,y属于R有f(x+4)=f(x)

Answer 3

x=y=0时，f(0)+f(0)=2f(0)*f(0)
f(0)不等于0
f(0)=1
y=1时f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)
f(x+1)+f(x-1)=0
x=y+1
f(y+1+1)+f(y+1-1)=0
f(y)=-f(y+2)
所以f(x)=-f(x+2)
当x=0时有f(y)+f(-y)=2f(y)
f(-y)=f(y)
f(x)=f(-x)
f(x)是偶函数
-f(x+2)=f(x+2)
f(x)=f(x+2)
函数是以2为周期的周期函数，所以f(x)=f(x+4)

Answer 4

令y等于1…带入已知的那个式子…又由f(x)=1，可得f(x+1)+f(x-1)=0…得f(x)等于负的f(x+2)…即函数是以周期为4的函数