Question

定义在正整数集上的函数f（x）对任意m，n∈N+,f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2，且f（1）=1

1。求f（x）的表达式
2。m∧2-tm-1≤f（x）对于任意的m∈[-1，1]，x∈N+恒成立，求实数t的取值范围
要详细过程，谢谢！！！

Answer 1

（1）另m=x，n=1，得到f(x+1)=f(x)+4x
+3；所以：
f(2)=f(1)+4*1+3
f(3)=f(2)+4*2+3
f(4)=f(3)+4*3+3
...............
f(x)=f(x-1)+4*(x-1)+3
累加得，f(x）=f(1)+4*（1+2+3+...+(x-1))+3*(x-1)
=2x²+x-2
2、由(1)显然知，f(x)最小值为1，所以m²-tm-1≤1对任意m∈[-1，1]恒成立
当m=0时，对t∈R不等式均成立；
当m＜0时，原式等价于t≤m-2/m在m∈[-1，0)恒成立，而函数m-2/m的最小值为1(函数为单增函数),所以t≤1；
当m＞0时，原式等价于t≥m-2/m在m∈(0,1]恒成立，而函数m-2/m的最大值为-1(函数为单增函数),所以t≥-1
综上可得，-1≤m＜0时，t≤1
m=0时，t∈R
0＜m≤1时，t≥-1

Answer 2

令m=1,则有f(n+1)=f(1)+f(n)+4(1+n) 移项得 f(n+1)-f(n)=f(1)+ 4(1+n) 即为等差数列，知道公差，首项，可很容易写出通项式f（x）。