Question

f(x)是（-1,1）的偶函数，且f(x)在(0，1）上是增函数。若f(a-2)-f(4-a^2)<0，求a的取值范围.

f(x)是（-1,1）的偶函数，且f(x)在(0，1）上是增函数。若f(a-2)-f(4-a^2)<0，求a的取值范围.

Answer 1

：∵函数f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数,

∴f(－x)=f(x)

又f(a－2)－f(4－a²)<0

∴f(a－2)＜f(4－a²),

∴不等式满足：－1＜a－2＜1且－1＜4－a²＜1

∴....{1＜a＜3

........{－√5＜a＜－√3 或√3＜a＜√5

∴√3＜a＜√5

.....................................................................................................

又f(x)在[0,1）上是增函数

∴|a－2|＜|4－a²|

∴(a－2)²＜(a²－4)²

∴(a－2)²＜【(a－2)（a＋2）】²

∴【(a－2)（a＋2）】²－(a－2)²＞0

∴(a－2)²[（a＋2）²－1]＞0

∴(a－2)²（a＋1）(a＋3)＞0

显然a≠2，＜＝＞（a＋1）(a＋3)＞0

∴a＜－3 或a＞－1且a≠2

∴√3＜a＜2或2＜a＜√5

∴a的取值范围为（√3，2）∪（2，√5）

Answer 2

∵f(x)是（-1,1）的偶函数，且f(x)在(0，1）上是增函数
∴f(x)在(-1,0）上是减函数
∵f(a-2)-f(4-a^2)<0
∴|a-2|<|a²-4|
又∵-1<a-2<1
-1<a²－4＜1
∴联立解得，√3＜a＜√5,a≠2