Question

初三的一道应用题，高手们过来吧！

遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图，当伞收紧时，点P与点A重合，当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开。已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6分米，CE=CF=18分米。设AP=X分米
1.求X的取值范围
2.若∠CPN=60°，求X的值
3.设阳光下伞的阴影（假定为圆面）面积为Y，求Y与X的关系式（结构保留派）

Answer 1

：（1）∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，
∴AB=AC-BC=10分米．
∴x的取值范围是：0≤x≤10．

（2）∵CN=PN，∠CPN=60°，
∴△PCN是等边三角形．
∴CP=6分米．
∴AP=AC-PC=6分米．
即当∠CPN=60°时，x=6．

（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H．
∵PM=PN=CM=CN，
∴四边形PNCM是菱形．
∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，
PB=6-0.5x．
在Rt△MBP中，PM=6分米，
∴MB2=PM2﹣PB2=62﹣（6﹣0.5x）2=6x﹣0.25x2．
∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，
∴EH=HF，EF⊥AC．
∴∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，
∴△CMB∽△CEH．

∴EH2=9MB2=9（6x﹣0.25x2）．
∴y=πEH2=9π（6x﹣0.25x2），
即y=﹣2.25πx2+54πx．