Question

一道数学题。。。急！啊！

在梯形ABCD中，AB//CD，CD=a，AB=b，E为AD边上的一点，EF//AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：（1）当DE/AE=1时，EF=a+b/2（2）当DE/AE=2时，a+2b/3（3）
当DE/AE=3时，EF=a+3b/4 当DE/AE=k时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明。要把过程写得清楚点。

Answer 1

解：如图，先分别过D、C作AB的垂线交AB于J、K两点，交EF于G、H两点。

首先证明三角形DEG相似于三角形DAJ，三角形CFH相似于三角形CBK，又由题，DE/AE=K，则DE/DA=K/K+1，则有下面关系：

EG/AJ=K/K+1,HF/KB=K/K+1,又由图有AJ+KB=b-a，EF=EG+CD+HF；

则EF=(K/K+1)AJ+a+(K/K+1)KB=(K/K+1)(AJ+KB)+a=(K/K+1)(b-a)+a=(a+Kb)/K+1。

自己看看就明白了！

Answer 2

猜想EF=(a+kb)/(k+1)
证明法一：连接BD交EF于G点。
三角行ABD中DG/BG=DE/AE=k,EG=kb/(k+1),
同样三角形BCD中GF=a/(k+1),
所以EF=EG+GF=kb/(k+1)+a/(k+1=(a+kb)/(k+1)。

证明法二：过c点作CH//AD,叫EF于G点，AB于H点。
则四边形AHCD即为平行四边形，
所以 （这符号我打不出就用汉字代替下）AH=EG=CD=a；
又在三角形HBC中CG/GH=DE/AE=k，
所以CF/BF=CG/GH=k，
GF/HB=CF/BC=k/(k+1),
所以GF=BH.k/(k+1),
BH=AB-AH=b-a,
所以GF=(b-a).k/(k+1)
EF=EG+GF=a+(b-a).k/(k+1)
=(a+kb)/(k+1)