Question

已知二次函数f(x)=ax^2+(2a-1)x+1在区间[-3/2,2]上的最大值为3，求实数a的值。

Answer 1

一)a=0时,f(x)=-x+1,在[-3/2,2]上的最大值为5/2,不满足,
所以a≠0 二)a≠0时,f(x)=ax^2+(2a-1)x+1为二次函数,即图像为抛物线
1)当a>0时,抛物线开口向上,对称轴为x=-1+1/2a,
区间[-3/2,2]的中心为7/4,
所以分两种情况讨论:
(1)当抛物线的对称轴x=-1+1/2a≤7/4时,
即a≥2/11,最大值在x=2处取到,
所以f(2)=4a+2(2a-1)+1=3,所以a=1/2,满足a≥2/11,所以a=1/2符合
(2)当抛物线的对称轴x=-1+1/2a>7/4时,
即0<a<2/11,最大值在x=-3/2处取到,
所以f(-3/2)=3,所以a=-2/3,不满足0<a<2/11所以a=-2/3不符合
2)当a<0时,抛物线开口向下,对称轴为x=-1+1/2a<0,
区间[-3/2,2]的中心为7/4,
分两种情况讨论:
(1)抛物线的对称轴x=-1+1/2a≤-3/2时:
即-1≤a<0时,最大值在x=-3/2处取到,
所以f(-3/2)=3,解得a=-2/3,满足0>a>-1,所以a=-2/3符合
(2)抛物线的对称轴在[-3/2,2]中时,
即-3/2<x=-1+1/2a<2时, 即a<-1 最大值在顶点处取到,
即1-(2a-1)²/4a=3 解得a=-1/2,
不满足a<-1,所以a=-1/2不满足.
综上可得a=1/2与a=-2/3