Question

高一数学简单的集合问题 当然我觉得不简单 但是你们一定觉得很简单

1.A=｛x/x=m²-n² ， m,n∈Z｝
求证：① 任何奇数都是A的元素
② 任何形如4k-2（k∈正整数）的偶数都不是A的元素

谢谢大家的无私奉献 希望写的稍微详细一点点 悬赏不高请笑纳

Answer 1

证：
1.对于任意的奇数p=2k+1，k∈Z；令m=k+1,n=k,即可满足x=p，所以任何奇数都在A中
2.因为x=m²-n²=(m+n)(m-n)
当m,n奇偶性相同时，m+n,m-n均为偶数，所以x是4的倍数，形如4k
当m,n奇偶性不同时，m+n,m-n均为奇数，所以x是奇数，形如4k+1或4k+3
所以形如4k-2的偶数不是A的元素

Answer 2

证明：①很简单的一道题目
设X=2Y+1，Y∈Z
依题意得，X=(Y+1)²-Y² Y∈Z
∵Y+1,Y∈Z 且2Y+1表示为任何奇数
∴任何奇数都是A的元素
②4K-2=（根号2×K）²-(根号2×K-根号2)²
∵根号2×K和根号2×K-根号2都不属于正整数
∴4K-2不属于A

Answer 3

证明：
①x=m²-n²=(m+n)(m-n)，只要m-n=1，即m,n是两个连续整数，而任何奇数都可以表示成两个连续整数的和(m+n)，故任何奇数都可以表示成(m+n)(m-n)，即是A的元素，只要m-n=1。
②4k-2=2(2k-1)，不论2k-1是否可以再因式分解，4k-2必定是一个奇数和一个偶数的乘积。而x=m²-n²=(m+n)(m-n)，
（1）若m+n是偶数，则m-n也必定是偶数【令m+n=2k => m=2k-n => m-n=2k-2n=2(k-n)是偶数】；
（2）若m+n是奇数，则m-n也必定是奇数【令m+n=2k+1 => m=2k+1-n => m-n=2k+1-2n=2(k-n)+1是奇数】。
证毕！不知偶是否表达清楚了……

Answer 4

不好写答案啊，我告诉你用什么方法，利用数学归纳法做呀