Question

已知实数a,b,c满足a^2+b^2=1,b^2+c^2=2,c^2+a^2=2,求ab+bc+ca的最大值

Answer 1

已知：a²+b²=1，b²+c²=2，a²+c²=2。
求：ab+ac+bc的最小值。
解：首先，根据已知条件，解出a、b、c的值。
根据已知，
a²+b²=1 ①
b²+c²=2 ②
a²+c²=2 ③
③-①，得
b²=1/2，即b=±1/√2。 （√表示根号）
将b²的值代入①中，得
a²=1/2，即a=±1/√2。
将a²的值代入②中，得，
c²=3/2，即c=±√3/√2。
a、b、c各有两个值。因为要求ab+ac+bc的最小值，就是必须使每项乘积得到负数。根据“正正得正，负负得正，正负得负”的原理，每项乘积中，两个值必须取相反符号。于是得到
ab+ac+bc
=1/2-√3/2-√3/2
=1/2-√3

(取a=b=1/√2,c=-√3/√2或a=b=-1/√2,c=√3/√2)

Answer 2

由a²+b²=1，
b²+c²=2，
c²+a²=2，
三式相加：2a²+2b²+2c²=5，
∴a²+b²+c²=5/2
得a²=1/2，b²=1/2，c²=3/2，
∴a=±√2/2，b=±√2/2，c=±√6/2，
设ab+bc+ca=k，2ab+2bc+2ca=2k，
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=5/2+2k，
2k=（a+b+c）²-5/2，
k=（a+b+c)²/2-5/4
将a=√2/2，b=√2/2，c=√6/2代入：（取得最大值）
k=（√2+√6/2）²/2-5/4
=（2+3/2+2√3）/2-5/4
=（4+3+4√3-5）/4
=1/2+√3为最大值。