Question

已知二次函数f(x)满足f(1＋x)=f(1－x),且f(0)=0,f(1)=1,且在区间[m,n]上的值域是[m,n],求实数m,n的值

求具体解答过程

Answer 1

由f(1＋x)=f(1－x),可知f(x)为延X=1对称的二次函数，由f(0)=0,f(1)=1可以在图上画出此二次函数，此二次函数最大值为1，故n=1，做一y=x的直线就可知，当x<0时，y<x，故m=0。

m=0,n=1

二、要计算的话就是：

设二次函数f(x)=ax2+bx+c

带入f(1＋x)=f(1－x),f(0)=0,f(1)=1

得到a=-1,b=2,c=0

Answer 2

由已知可得f(0)=f(2)=0，f(1)=1可求出 f(x)=-x^2+2x 值域（-∞, 1]，所以m<n≤1，即只需考虑f(x)在x=1的左半边，函数单调递增，所以有-x^2+2x=x，可求得x1=0，x2=1，即m=0，n=1

Answer 3

解：对称轴x=1，则y=a(x-1)²+k
∵f(0)=0,f(1)=1
∴a+k=0 k=1
∴a=-1,k=1
∴y=-(x-1)²+1
∴f(m)=-(m-1)²+1=m, f(n)=-(n-1)²+1=n
∴m,n=0，1，
由于题目默认m＜n，所以m=0,n=1

Answer 4

f(x)=ax²+bx+c

f(0)=c=0
f(1)=a+b+c=1
a(1+x)²+b(1+x)+c=a(1-x)²+b(1-x)+c

a=-1,b=2,c=0
f(x)=-x²+2x=-(x-1)²+1
f(x)≤1
m<n≤1

max[f(x)]=f(n)=-n²+2n=n
min[f(x)]=f(m)=-m²+2m=m

m=0，n=1