Question

已知函数f(x),x属于R，若对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证f(x)为奇函数。

Answer 1

对于任意的x属于R，都有-x属于R
因此f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)恒成立
代人a=b=0,得到f(0)=2f(0),因此f(0)=0
因此f(x)=-f(-x)恒成立，且定义域关于y轴对称，所以f(x)为奇函数

Answer 2

⑴：
假设a=b=0
则可推出 f(0+0)=f(0)+f(0) 即f(0)=2f(0) 得知f(0)=0

⑵：
假设a=x b=-x
则可推出 f(x+(-x))=f(x)+f(-x) 即f(0)=f(x)+f(-x)
代入⑴得出的结果，得出f(x)=-f(-x)

此题得解，f(x)为奇函数。

Answer 3

令a=b=0,则f(0)=f(0)+f(0),
所以f(0)=0
再令a=x,b=-x,则f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
所以f(x)+f(-x)=f(0)=0
所以f(x)为奇函数