Question

如图，已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=k/x的图像在第一象限内有两个不同的公共点A、B。

如图，已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=k/x的图像在第一象限内有两个不同的公共点A、B。若三角形AOB的面积是24，求K的值

Answer 1

一次函数y= -x+8和反比例函数y=k/x 图像在第一象限内有两个不同的公共点A，B,即方程-x+8=k/x有两个不相等的正根
对于方程x的平方-8x+k=0，它有两个不相等的正根，64-4k>0,即k<16
由韦达定理知，X1+X2>0,X1*X2>0,
即k>0
所以0<k<16

2)K=7
以AB为底，三角形AOB的高和函数Y=-X+8到原点的距离相等
高=4倍根号2
则A，B距离为6倍根号2
而A，B的斜率为-1，则AB距离=|(Xa-Xb)|倍根号2，
|(Xa-Xb)|=6
由2个函数的方程y=-x+8，y=k/x(k不=0）
解X得，x=[8±根号（64-4K）]/2
所以 |(Xa-Xb)|={[8+根号（64-4K）]-[8-根号（64-4K）]}/2
解得k=7

Answer 2

三角形AOB的面积=三角形COB的面积-三角形AOC的面积
=1/2(xB-xA)OC=24
xB-xA=6
-x+8=k/x得x^2-8x+k=0
x1+x2=8 x1x2=k
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=64-4k=6^2=36
k=7

Answer 3

设点坐标为A（X0，YO）AB交Y轴于C点，
因为双曲线关于Y=X轴对称，所以B点坐标为B（Y0，XO）
C点坐标为（8，0）
所以，X0+YO=8 又因为X0*Y0=K
（YO-XO）平方=（X0+YO）平方-4*XO*YO=64-4K
三角形AOB面积=COB-AOC=（1/2）*OC*（YO-XO）=4*（YO-XO）=24
所以YO-XO=6
解方程组XO+YO=8
YO-XO=6
得：XO=1 YO=7
所以K=XO*YO=7（符合题意）
结束

Answer 4

（2）∵令一次函数y=-x+8中x=0，解得y=8，故OC=8，
∴S△COB=
1
2
OCx2，S△COA=
1
2
OCx1，
S△AOB=S△COB-S△COA=
1
2
OC(x2-x1)=24
∴24=4（x2-x1），∴（x2-x1）2=36，
∴（x1+x2）2-4x1x2=36，
∵一次函数y=-x+8和反比例函数y=
k
x
图象在第一象限内有两个不同的公共点，
∴-x+8=
k
x
，
∴x2-8x+k=0
设方程x2-8x+k=0的两根分别为x1，x2，
∴根据根与系数的关系得：x1+x2=8，x1•x2=k．
∴64-4k=36
∴k=7．