Question

数学 集合 函数

已知定义在(0,+∞)上的函数f(x) 对任意的x,y∈(0,+∞) 兜有f(xy)=f(x)+f(y) 且当0＜x＜1时 ,f(x)＞0

(1)证明 当x＞1时,f(x)＜0

(2)判断函数f(x)的单调性并加以证明

(3)如果对任意x,y∈(0,+∞) , f(x^2+y^2)≤f(a)+f(xy)恒成立, 求实数a的取值范围

Answer 1

(1)证明：f(xy)=f(x)+f(y)
令y=1
f(x)=f(x)+f(1)
f(1)=0
当x>1时 0<1/x<1, f(1)=f(x×1/x)=f(x)+f(1/x)=0
因为f(1/x)>0 所以f(x)<0
(2)因为f(xy)=f(x)+f(y) 所以f(x)=f(xy)-f(y)
令xy=p y=q 那么f(p)-f(q)=f(p/q)
所以设0<p<q
f(p)-f(q)=f(p/q) 因为0<p/q<1 所以f(p)-f(q)>0 所以f(x)单调递增
（3） 即f(x^2+y^2)-f(xy)≤f(a)恒成立
(x^2+y^2)/xy≥a
所以a≤min[(x^2+y^2)/xy]=2xy/xy=2
又a>0
所以a∈(0,2]