Question

设函数f(x)=ka^x减a^-x(a>0,a不等于1)是定义域为R上的奇函数. 1.若f(1)>0,试求不等式f(x^2+2x)+f(x-4)>0

设函数f(x)=ka^x减a^-x(a>0,a不等于1)是定义域为R上的奇数. 1.若f(1)>0,试求不等式f(x^2+2x)+f(x-4)>0的解集
2.若f(1)=3/2,且g(x)=a^2x + a^-2x -2mf(x)在[1,正无穷)上的最小值为-2,求m的值

Answer 1

(1)
f（x）=ka^x-a^(-x)
因为是奇函数，所以f(0)=0
又:
f(0)=k*a^0-a^(-0)=k-1
=>k-1=0
=>k=1

(2)
f(1)=a^1-a^(-1)=a-1/a=3/2
=>a=2
=>f(x)=2^x-1/2^x

g(x)=a^(2x)+a^(-2x)-2mf(x)
=(a^x-a^(-x))^2-2-2mf(x)
=f(x)^2-2mf(x)-2

令t=f(x)
当x>=1,则t=f(x)>=3/2
=>
g(x)=t^2-2mt-2
=(t-m)^2-(m^2+2)
假设m>=3/2,那么g(x)的最小值就是-m^2-2=-2,则m=0，矛盾，因此m<3/2
因此有g(x)的最小值在t=3/2取得，把t=3/2代入g(x)
=>(3/2)^2-2*3/2*m-2=-2
=>m=t/2=3/4

因此m的值是3/4

Answer 2

(1)
f（x）=ka^x-a^(-x)
因为是奇函数，所以f(0)=0
又:
f(0)=k*a^0-a^(-0)=k-1
=>k-1=0
=>k=1

(2)
f(1)=a^1-a^(-1)=a-1/a=3/2
=>a=2
=>f(x)=2^x-1/2^x

g(x)=a^(2x)+a^(-2x)-2mf(x)
=(a^x-a^(-x))^2-2-2mf(x)
=f(x)^2-2mf(x)-2

令t=f(x)
当x>=1,则t=f(x)>=3/2
=>
g(x)=t^2-2mt-2
=(t-m)^2-(m^2+2)
假设m>=3/2,那么g(x)的最小值就是-m^2-2=-2,则m=0，矛盾，因此m<3/2
因此有g(x)的最小值在t=3/2取得，把t=3/2代入g(x)
=>(3/2)^2-2*3/2*m-2=-2
=>m=t/2=3/4

因此m的值是3/4

Answer 3

2)
f(1)=a^1-a^(-1)=a-1/a=3/2
=>a=2
=>f(x)=2^x-1/2^x

g(x)=a^(2x)+a^(-2x)-2mf(x)
=(a^x-a^(-x))^2-2-2mf(x)
=f(x)^2-2mf(x)-2

令t=f(x)
当x>=1,则t=f(x)>=3/2
=>
g(x)=t^2-2mt-2
=(t-m)^2-(m^2+2)
假设m>=3/2,那么g(x)的最小值就是-m^2-2=-2,则m=0，矛盾，因此m<3/2
因此有g(x)的最小值在t=3/2取得，把t=3/2代入g(x)
=>(3/2)^2-2*3/2*m-2=-2
=>m=t/2=3/4