Question

y=f（x）为R上奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，求证y=f（x）在（(-∞，0）也是增函数

y=f（x）为R上奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，求证y=f（x）在（(-∞，0）也是增函数

Answer 1

设x1∈(-∞，0) x2∈(-∞，0) 且x1<x2
则-x1∈(0，+∞) -x2∈(0，+∞)且-x1>-x2

∵y在R上是奇函数
∴f(x1)=-f(-x1) f(x2)=-f(-x2)
则f(x1)-f(x2)=-( f(-x1)-f(-x2) )

∵y在(0，+∞)上是增函数
∴f(-x1)-f(-x2)>0
∴f(x1)-f(x2)=-( f(-x1)-f(-x2) )<0

∴y在(-∞，0)上是增函数

Answer 2

用定义证即可

可设a<b<0，所以-a>-b>0

f(a)-f(b)=-f(-a)+f(-b)=f(-b)-f(-a)

由于-a>-b>0，此时f(x)是增函数，所以f(-b)-f(-a)<0

所以f(a)-f(b)<0

故而得到证明也是增函数