Question

帮忙解答一道高中函数题

已知二次函数f(x)=ax²+（2a-1)x+1在区间[-3/2，2]上的最大值为3，求实数a的值

希望大家能够有讲解或过程，谢谢了。

Answer 1

一)a=0时,f(x)=-x+1,在[-3/2,2]上的最大值为5/2,不满足,所以a≠0

二)a≠0时,f(x)=ax^2+(2a-1)x+1为二次函数,即图像为抛物线
1)当a>0时,抛物线开口向上,对称轴为x=-1+1/2a,
区间[-3/2,2]的中心为7/4,所以分两种情况讨论:
(1)当抛物线的对称轴x=-1+1/2a≤7/4时,
即a≥2/11,最大值在x=2处取到,所以f(2)=4a+2(2a-1)+1=3,所以a=1/2,满足a≥2/11,所以a=1/2符合

(2)当抛物线的对称轴x=-1+1/2a>7/4时,
即0<a<2/11,最大值在x=-3/2处取到,所以f(-3/2)=3,所以a=-2/3,不满足0<a<2/11所以a=-2/3不符合

2)当a<0时,抛物线开口向下,对称轴为x=-1+1/2a<0,
区间[-3/2,2]的中心为7/4,分两种情况讨论:
(1)抛物线的对称轴x=-1+1/2a≤-3/2时:
即-1≤a<0时,最大值在x=-3/2处取到,所以f(-3/2)=3,解得a=-2/3,满足0>a>-1,所以a=-2/3符合

(2)抛物线的对称轴在[-3/2,2]中时,即-3/2<x=-1+1/2a<2时,
即a<-1
最大值在顶点处取到,即1-(2a-1)²/4a=3
解得a=-1/2,不满足a<-1,所以a=-1/2不满足.

综上可得a=1/2与a=-2/3

希望我回答的你满意,祝你学习进步!

Answer 2

首先，如果a＞0，那么抛物线在闭区间最大值必然在端点处取得
f(-3/2)=-3/4 a+ 5/2 ,f(2)=8a-1
此时若f(-3/2)=3，那么结果a=-2/3 ,不符合上述假设
若f(2)=3，那么a=1/2,此时f(-3/2）=17/8＜3，符合题意

如果a＜0，就要看对称轴是否在所求区间上。如果不在，那么最大值仍然在端点处取得
可以考虑之前求出的结果-2/3，对称轴x0=1/2a -1=-7/4＜-3/2，因此函数在所求区间单调递减，-2/3符合题意(必须判断函数在所求区间的单调性，不然最大值不一定是在所给的端点处取得的)
如果对称轴在所求区间上，那么最大值就在对称轴处取得
此时f(1/2a - 1)=3并且1/2a - 1∈[-3/2，2]，a＜0
此时a=-1/2符合题意
因此a 的值有±1/2和-2/3