Question

若对于一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).求f(0)的值

若对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)
(1)求f(0),并证明f(x)为奇函数
（2）若f(1)=3，求f(-3)

Answer 1

令x=y=0
则f(0)=f(0)+f(0)
解得f(0)=0
令x=-y即x+y=0
f(0)=f(x)+f(-x)=0
即f(x)=-f(-x)
所以f(x)是奇函数

令x=y=1则f(2)=f(1)+f(1)=6
f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)]=-[6+3]=-9

Answer 2

(1)f(0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0
f(0)=f(-x)+f(x)
0=f(x)+f(-x)
f(-x)=-f(x)
所以f(x)是奇函数
（2）f(-3)
=f(-1-2)
=f(-1)+f(-2)
=f(-1)+f(-1)+f(-1)
=-3f(1)=-9

Answer 3

(1) 令x=0，y=0，则f（0+0）=2f（0）；所以f（0）=0;
证明： 因为f(0)=f(-x)+f(x)
所以0=f(x)+f(-x)
则f(-x)=-f(x)

（2）f（x）是奇函数，则f（-3）=-f（3）；f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）；f（3）=9。所以f（-3）=-9