Question

已知函数f(x)=(2^x-1)/(2^x+1),(1)证明函数f(x)是R上的减函数（2）求函数f(x)的值域（3）令g(x)=x^2/f(x),

已知函数f(x)=(2^x-1)/(2^x+1),(1)证明函数f(x)是R上的减函数（2）求函数f(x)的值域（3）令g(x)=x^2/f(x),判定函数g(x)的奇偶性，并证明

Answer 1

(1)解:
f(x)=(2^x+1-2)/(2^x+1)=1-2/(2^x+1)
∵2^x是R上的增函数,值域为(0,+00)
∴2^x+1是R上的增函数,值域为(1,+00)
∴1/(2^x+1)是R上的减函数,值域为(0,1)
∴-2/(2^x+1)是R上的增函数,值域为(-2,0)
∴1-2/(2^x+1)是R上的增函数,值域为(-1,1)
即f(x)是R上的增函数,值域为(-1,1)

(2)解:
上题已解,值域为(-1,1)

(3)解:
f(-x)
=[2^(-x)-1]/[2^(-x)+1]
=(1-2^x)/(1+2^x) .....注:分子分母同时乘以2^x
=-f(x)
即f(-x)=-f(x)
∴g(-x)
=(-x)²/f(-x)
=-x²/f(x)
=-g(x)
即g(-x)=-g(x)
∴g(x)为奇函数