Question

数列的题目！

已知{An}是等比数列，Sn为其前n项和。设S3=3/2，S6=21/16，Bn=x*An-n^2，若数列{Bn}是单调递减数列，求实数x的取值范围

Answer 1

解：3/2=S3=a(1-q^3)/(1-q)
21/16=S6=a(1-q^6)/(1-q)
后式除以前式：
(1-q^6)/(1-q^3)=(21/16)/(3/2)
1+q^3=7/8
q^3=-1/8
q=-1/2
代入上式可得a=2
所以an=2(-1/2)^(n-1)=-(-1/2)^(n-2)

bn=X*an-n*n
=-x(-1/2)^(n-2)-n^2
b(n-1)=-x(-1/2)^(n-3)-(n-1)^2
bn-b(n-1)=[-x(-1/2)^(n-2)-n^2]-[-x(-1/2)^(n-3)-(n-1)^2]
=-x(-1/2)^(n-2)-n^2-2x(-1/2)^(n-2)+(n-1)^2
=-x3(-1/2)^(n-2)-2n+1
＜0

x3(-1/2)^(n-2)+2n-1＞0

当n为偶数时，不妨设n=2k
x3(-1/2)^(2k-2)+4k-1＞0
x3(1/2)^(2k-2)+4k-1＞0
x＞(1-4k)/[3(1/2)^(2k-2)]
=(1-4k)2^(2k-2)/3
＞(1-4*1)2^(2*1-2)/3
=-1

当n为奇数时，不妨设n=2m+1
x3(-1/2)^(2m-1)+4m+1＞0
-x3(1/2)^(2m-1)+4m+1＞0
x＜(1+4m)/[3(1/2)^(2m-1)]
=(1+4m)2^(2m-1)/3
＜(1+4*1)2^(2*1-1)/3
=10/3

所以-1＜x＜10/3

Answer 2

解：
设{an}首项为a1,公比为q.
S3=a1(1+q+q^2)=3/2
S6=a1(1+q+q^2+q^3+q^4+q^5)=a1(1+q^3)(1+q+q^2)=21/16
S6/S3=1+q^3=(21/16)/(3/2)=7/8
q^3=1/8 q=1/2
S3=a1(1+1/2+1/4)=3/2 a1=6/7

an=(6x/7)*(1/2)^(n-1)
bn=(12x/7)/2^n-n^2
b(n+1)=(12x/7)/2^(n+1)-(n+1)^2
由题意，{bn}是单调递减数列，则对于任意自然数n,n≥1，均有
b(n+1)<bn
b(n+1)-bn=(12x/7)/2^(n+1)-(n+1)^2-(12x/7)/2^n+n^2
=(-6x/7)/2^n-2n-1<0
x>-(7/6)(2n+1)*2^n
当n=1时，不等式右边取得最大值，x比不等式右边的最大值大，则有
x>-(7/6)*3*2=-7

x的取值范围为(-7,+∞)

Answer 3

x的取值范围为(-7,+∞)