数列{a(n)}的前项和为S(n),已知a(1)=1,a(n+1)=[(n+2)/n]*Sn且n为自然数,证明:数列{S(n)/n}是等比数列. 5
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a<n+1>=[(n+2)/n]*Sn,S1=a1=1,
∴a2=3,S2=4,
∴a3=8,S3=12,
∴a4=20,S4=32.
假设Sn/n=2^(n-1).那么
a<n+1>=(n+2)*2(n-1),
S<n+1>=Sn+a<n+1>=n*2^(n-1)+(n+2)*2^(n-1）
=（n+1)*2^n,
∴S<n+1>/(n+1)=2^n.
由数学归纳法知，对任意n∈N+,Sn/n=2^(n-1)都成立。
∴数列{Sn/n}是等比数列。
∴a2=3,S2=4,
∴a3=8,S3=12,
∴a4=20,S4=32.
假设Sn/n=2^(n-1).那么
a<n+1>=(n+2)*2(n-1),
S<n+1>=Sn+a<n+1>=n*2^(n-1)+(n+2)*2^(n-1）
=（n+1)*2^n,
∴S<n+1>/(n+1)=2^n.
由数学归纳法知，对任意n∈N+,Sn/n=2^(n-1)都成立。
∴数列{Sn/n}是等比数列。
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