Question

一道不等式问题，在线等

x,y>0
x^3+y^3=x-y
求证:x^2+y^2<1

急！！也许要用到均值不等式……

Answer 1

要证x^2+y^2<1
相当于(x^2+y^2)(x-y)/(x^3+y^3)<1
也就是证明x^3-y^3+xy^2-x^2y<x^3+y^3
由于x>0,y>0所以相当于证明xy<x^2+2y^2
由于x^2-xy+y^2=(x-y/2)^2+0.75y^2>0
所以x^2+2y^2>x^2+y^2>xy
所以原不等式成立

Answer 2

可以这样解x3+y3=(x+y)(x2+y2)-x2y-xy2=x-y
整理可得到x2+y2=x-y+xy(x+y)/x+y
所以又可以整理成x2+y2=1-(2y/(x+y)-xy)因为x,y为大于0的数，省略之后步骤，最后可以得知括号里的东西应该是大于0的，所以x2+y2《1