Question

一道高二数学题（请进！请详细说明！谢谢！）

圆锥的侧面积是底面面积的2倍,它的轴截面面积等于Q,求此圆锥的体积。

Answer 1

设圆锥底面半径为r，圆锥高为h。
则侧面半径为√(r^2+h^2)，底面周长为2πr。
设圆锥侧面展开后形成的扇形的圆心角为θ，有2πr=√(r^2+h^2)θ，求得θ=2πr/√(r^2+h^2)。
所以，扇形侧面的面积为1/2*θ*(r^2+h^2)=πr√(r^2+h^2)。根据条件，圆锥的侧面积是底面面积的2倍，所以πr√(r^2+h^2)=2πr^2，化简得h=√3r。
又圆锥的轴截面是一个等腰三角形，面积为Q，所以有1/2*2r*h=Q，得rh=Q。
联立h=√3r，rh=Q得：r=√(Q/√3)。
圆锥体积=1/3*(πr^2)*h=√3/3πr^3=πQ/3√(Q/√3)。

Answer 2

设高为h
S侧＝πRL ……………………①
S底＝πR^2 ……………………②
S侧/S底＝2……………………③
L=√(h^2+R^2)…………………④
S轴＝1/2*2R*h＝Q………………⑤
求V＝1/3πR^2h
只要求出R和h即可得到V

将①②④带代入③可得h^2=3R^2
由⑤可得hR＝Q h＝Q/R h^2=Q^2/R^2=3R^2

3R^4=Q^2 R^2=√(3)Q/3
h^2=√(3)Q h=√[√(3)Q]

V ＝1/3πR^2h
＝1/3 * π * √(3)Q/3 *√[√(3)Q]

由于符号不太好打，最后结果你自行整理吧