Question

求证:一元二次方程x²+ax+b=0有一个正根和一个负根的充要条件是b<0

要过程

Answer 1

1.充分性
判别式=a²-4b>0
韦达定理
x1*x2=b<0
所以x1 x2 一正一负
2.必要性
∵方程有一正根一负根
∴ x1*x2=b<0
所以原命题得证

Answer 2

方法一：
根据韦达定理：
x1x2=b
如果x1x2异号,b必小于0
∴x²+ax+b=0有一个正根和一个负根的充要条件是b<0

方法二：
x^2+ax+b=0
(x+a/2)^2-a^/4+b=0
x=-a/2±根号(a^2/4+b)
x1x2=[-a/2+根号(a^2/4+b)][-a/2-根号(a^2/4+b)]=b
如果x1x2异号,b必小于0
∴x²+ax+b=0有一个正根和一个负根的充要条件是b<0

Answer 3

这很简单，构造函数f(x)=x^2+ax+b 它是一条开口向上的抛物线，画一个图
方程有一个正根和一个负根，相当于抛物线与x轴正半轴有一个交点，与负半轴有一个交点
显然只要满足f(0)<0就行了
f(0)=b<0 这是必要性

现在证充分性：f(0)==b<0,显然根据图像抛物线与x轴正半轴有一个交点，与负半轴有一个交点，即方程x2+ax+b=0有一个正根和一个负根