Question

一道高中数学题（周期函数与奇函数结合）

已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)（-1≤x≤1）是奇函数。已知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.
1.求y=f(x)，x∈[1,4]上的解析式
2.求y=f(x)，x∈[4,9]上的解析式

Answer 1

x=2,二次函数取最小直,函数关系试为:
f(x)=a(x-2)^2+b
又 f(1)=-f(-1)（奇偶性）
f(-1)=f(4)（周期性）
故：
{f(1)=a+b= - f(4)= -(4a+b)
f(2)=b=-5
所以，{ 5a=-2b;a=2
b=-5
f(x)=2(x-2)^2-5;(1<x<4)
f(-1)=f(4)=3
又因为奇函数f(0)=0;f(x)=-3x;(-1<x<1)
周期性
{f(x)=-3(x-5); (4<x<6)
f(x)=2(x-7)^2-5; (6<x<9)

综上：f(x)=2(x-2)^2-5;(1<x<4)
{f(x)=-3(x-5); (4<x<6)
f(x)=2(x-7)^2-5; (6<x<9)

Answer 2

由于二次函数在x=2时函数取得最小值-5，可设该函数为f（x）=a（x-2）^2-5
由于函数的周期为5，所以f（-3）=f（2）=-5
而函数又是奇函数，所以f（3）=-f（-3）=5
则5=a（3-2）^2-5,则a=10
所以f（x）=10（x-2）^2-5=10x^2-40x+35;
(2)由（1）知f（1）=5，y=f(x)在[0,1]上是一次函数，因此f（x）=5x
在【-1，1】f（x）=5x
在【4，6】上设x，f（x）=f（x-5）=5（x-5）=5x-25
在【6，9】上设x，则f（x）=f（x-5）=10（x-5-2）^2-5=10x^2-70x+485

Answer 3

timucuode
y=f(x)在[0,1]上是一次函数，函数y=f(x)（-1≤x≤1）是奇函数，【-1 1】上是一次函数
周期T=5，【3 5】上是一次函数，在[1,4]上是二次函数？？？？？？？？？