Question

已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a>0)在区间【2，3】上的值域为【2，5】

已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a>0)在区间【2，3】上的值域为【2，5】，（1）求a，b的值。（2）若关于x的函数g(x)=f(x)-(m+1)x在【2，4】上为单调函数，求m的取值范围。

Answer 1

（1）f(x)=ax^2—2ax+2+b=a(x-1)^2-a+2+b

对称轴是1，[2，3]在对称轴右边，在区间内单调
当a>0，2处取得最小值2，3处取得最大值5，
带入解方程组，解得
a=1,b=0

(2)g(x)=x2-(2+m)x+2
对称轴为x=1+m/2
因为g(x)在【2,4】上是单调函数
所以，1+m/2≤2
m≤2
1+m/2≥4
m≥6

Answer 2

设2<=x1<x2<=3
f(x1)=ax1(x1-2)+2+b
f(x2)=ax2(x2-2)+2+b
f(x1),f(x2)
即此函数为增函数（若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)]）
所以，f(x)=ax2-2ax+2+b值域为[f(2),f(3)]即f(x2)<=f(x)<=f(x3)
4a-4a+2+b=2且9a-6a+2+b=5
解得a=1,b=0