Question

求几道高中数学题的答案。要详细点，谢谢。 题量有点大，都做出我会附悬赏分的

①奇函数f(x)是R上的减函数，对于x＞0恒有f(kx)+f(-x²+x-2）＞0成立，求k范围 我求的是f(kx)＞-f(-x²+x-2）∵f（x）是奇函数∴(kx)＞f(-x²+x-2）又∵f（x0是减函数∴kx＜x²-x+2∵x＞0∴k＜x+2/x-1 然后不会解了 ②f(x)=a(2的x次方+1）-2/2的x次方+1是奇函数，则a=？ ③设函数f(x)的定义域为R,且对于任意实数a、b都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a).f(b).求证f(x)为偶函数 ④f(x)为R上偶函数在（-∞，0）上为增函数且有f（2a²+a+1）＜f（2a²-2a+3），求a范围 ⑤f（x）、g（x）都是定义域为R的奇函数，若F（x）=af（x）+bg（x）+2,在（0，+∞）上最大值为5，求F（x）在（-∞，0）上的最小值

Answer 1

1.
f(kx)＞-f(-x²+x-2）
∵f（x）是奇函数∴(kx)＞f(-x²+x-2）
又∵f（x0是减函数∴kx＜x²-x+2
∵x＞0∴k＜x+2/x-1
∵对于x＞0恒有f(kx)+f(-x²+x-2）＞0成立
∴该式k＜x+2/x-1对于x＞0也恒成立
k小于x+2/x-1的最小值，即为2√2－1
∴k＜2√2－1

2。
∵f(x)是奇函数，∴有f(o)=o
解得a=1/2

3。
∵有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)，令b=0,得
f(a)[1－f(0)]=0
上式对于任意a都成立，∴1－f(0)=0，∴f(0)=1
再令a=0，b=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)
∵f(0)=1，∴有f(x)+f(-x)=2f(x)，即有f(x)=f(-x)
∴f(x)为偶函数

4.
分情况讨论
1。2a²+a+1，2a²-2a+3都在y轴左侧，则有
｛2a²+a+1＜0
｛2a²-2a+3＜0
｛2a²+a+1＜2a²-2a+3
解这不等式组
2。2a²+a+1，2a²-2a+3都在y轴右侧，则有
｛2a²+a+1＞0
｛2a²-2a+3＞0
｛2a²+a+1＞2a²-2a+3
解这不等式组
3。2a²+a+1，2a²-2a+3分别在y轴异侧，则有
|2a²+a+1|＞|2a²-2a+3|
解不等式

最后解取并集

5.
∵F（x）=af（x）+bg（x）+2,∴F（x）－2=af（x）+bg（x）
令h（x）=F（x）－2,则有h（x）=af（x）+bg（x）
∵f（x）、g（x）都是定义域为R的奇函数，
∴易证h（x）也是定义域为R的奇函数
又∵F（x）=af（x）+bg（x）+2,在（0，+∞）上最大值为5
∴h（x）在（0，+∞）上最大值为5－2=3
又h（x）是定义域为R的奇函数，∴h（x）在（－∞，0）上最小值为-3
∴F（x）在（-∞，0）上的最小值 为-3＋2=-1

Answer 2

1.

f(kx)＞-f(-x²+x-2）

因为f（x）是奇函数

有-f(-x²+x-2）=f(x²-x+2）
f(kx)＞f(x²-x+2）
又因为是减函数
有 kx<x²-x+2
k<x+2/x-1
又对于x＞0恒有f(kx)+f(-x²+x-2）＞0成立
令y=x+2/x-1
有k<y（最小值）=2倍根号2—1
2.
因为是奇函数，有f(o)=o
所以有a=1/2
3.