Question

已知a,b∈R,α,β是方程x^2+ax+b=0的两个根,且|a|+|b|<1.求证|a|<1|β|<1

Answer 1

因为根据韦达定理可得αβ=b，α+β=-a

因为|a|+|b|<1

因为|a|+|b|=|α||β|+|α+β|≥|α||β|+|α|-|β| （1）

所以|α||β|+|α|-|β|<1

则|α||β|+|α|-|β|-1=(|α|-1)(|β|+1)<0

因|β|+1>0,所以|α|-1<0,即|α|<1

（1）式也可以换成是|a|+|b|=|α||β|+|α+β|≥|α||β|+|β|-|α|

则|α||β|+|β|-|α|<1

则|α||β|+|β|-|α|-1=(|β|-1)(|α|+1)<0

同理可得|β|<1