Question

已知函数f(x)=1/3x3+ax2-bx+1（a,b属于R）在区间[-1,3]上是减函数，则a+b的最小值是？

已知函数f(x)=1/3x3+ax2-bx+1（a,b属于R）在区间[-1,3]上是减函数，则a+b的最小值是？

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Answer 1

由f(x)=1/3*x^3+a*x^2-bx+1
求导得f'(x)=x^2+2ax-b
由f(x)在[-1,3]是减函数，
推知x属于[-1,3]上，f'(x)<=0恒成立
则只需f'(-1)<=0和f'(3)<=0
所以f'(-1)=1-2a-b<=0，化为2a+b>=1
f'(3)=9+6a-b<=0，化为b-6a<=9
令u=2a+b>=1，v=b-6a<=9,假设a+b=mu+nv=m(2a+b)+n(-6a+b)=(2m-6n)*a+(m+n)*b,对照系数得2m-6n=1，m+n=1，解得m=7/8,n=-1/8
则a+b=7/8*u-1/8*v>=7/8*1-1/8*9=-1/4
所以(a+b)min=-1/4