Question

高一数学一道集合的问题。

A=｛x｜x=4K±1，K属于Z｝B=｛x｜x=2K+1，K属于Z｝求集合A,B间的大小比较。解题中说A可变成x=4K+1=2*2K+1 是偶数。 x=4k-1=2（2k-1）+1是奇数。偶数+奇数=整数。B就变成x=2k+1 x=2*2k+1 。然后就说A=B。不明白。请人讲解。
1楼。如果你去做老师的话。不知道害死多少学生。

Answer 1

先从原理上分析一下，
整数分类： 按 模4 分类 可以分成4类：4k型，4k+1型，4k+2型，4k+3型，其中4k+3型与4k-1型是同一种类型，因为k取值具有任意性，这一点需要体会。
按 模2分类 可以分成2类：2k型，2k+1型。

其中 4k+1型和4k-1型都表示奇数，合起来构成 2k+1 型；(即是题目中的A=B）
4k+2型和4k型都表示偶数，合起来构成 2k 型；

另外，从形式上分析一下，
由于k本身是个整数，那么k要么是奇数，要么是偶数。
如此，我们将k分类，k为奇数，令k=2m+1，k为偶数，令k=2m，于是集合B就变成 x=4m+3或4m+1，m是任意整数，也就是 x=4m-1或4m+1，m是任意整数。

这里m与k是相同的，都是代表任意整数，也就是说，集合B就是集合A。

这个问题实际上涉及到整数的分类问题，与数学中的 同余 知识有关，想要深刻理解这个问题的话，找一本有关 数论的书看看，或者在网上搜搜同余有关的知识，如果看懂了，对此题的理解就是小case。

Answer 2

我们假设A'=4k+1=2(2k+1)-1 此时A'是奇数
A"=4k-1=2(2k-1)+1 此时A"也是奇数
所以集合A始终是奇数集，集合B就不用说了，它也是奇数集
所以A=B