Question

空间几何体

已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为根号2，根号3，根号6（根号 不会打，凑合着看吧），这个长方体的体对角线长是多少？如果共顶点的三个侧面面积分别是3，5，15，则它的体积是？【最好有详细过程】

Answer 1

无论哪条短，就设共顶点的三条边分别为a,b,c（凑合着看吧- -）

因为共一顶点的三个面的面积分别为根号2，根号3，根号6

所以ab=√2 (1)

bc=√3 (2)

ac=√6 (3)

则(1)*(2)*(3)可得(abc)^2=6

则(1)^2可得(ab)^2=2,同理(bc)^2=3,(ac)^2=6

则c^2=(abc)^2/(ab)^2=6/2=3,同理a^2=2,b^2=1

则体对角线长=√(a^2+b^2+c^2)=√(3+2+1)=√6

如果共顶点的三个侧面面积分别是3，5，15,方法同上，可以求得abc=15,所以三边长分别为5,3,1

则体积是5*3*1=15