Question

设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图像与y轴交点为（0,1），在x轴上截得线段的长为2√2，求f(x)表达式

设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图像与y轴交点为（0,1），在x轴上截得线段的长为2√2，求f(x)表达式
求详解过程

Answer 1

方法一：
解：设f(x)=ax^2+bx+c；…………x^2表示x的平方
令x=t+2，代入f(x-2)=f(-x-2)得f(t)=f(-t-4)，
代入t=0得f(0)=f(-4)；
∵f(x)图象在y轴上的截距为1，
∴f(0)=f(-4)=1；…………f(0)即f(x)在y轴上的截距
解f(0)=1得c=1；
由f(-4)=1得b=4a；
∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2√2，
∴√(b^2-4ac)/|a|=2√2；…………二次函数f(x)的图象被x轴截得的线段长为f(x)=0的两根之差的绝对值
代入b=4a解得a=1/2，b=2；
∴f(x)=1/2x^2+2x+1.

方法二：

f(x-2)=f(-x-2),这个告诉你对称轴是-2
又已知 f（0）=1
设为 f=a（x+2）^2+b
因为被x轴截得线段长为2倍根2 所以 ax^2+b=0的解为 x等于根号二 画图即知道
代得
a=二分之一 b=-1
f=1/2(x+2)^2-1