Question

求一道线性代数习题 详细解答过程

1 1 1 1
a b c d
a^2 b^2 c^2 d^2
a^4 b^4 c^4 d^4

求详细过程啊 包括每一步的过程 谢谢！！
行列式啊 ！！！

Answer 1

记原题目中的行列式为D, 令f(x) =
行列式
1 1 1 1 1
a b c d x
a^2 b^2 c^2 d^2 x^2
a^3 b^3 c^3 d^3 x^3
a^4 b^4 c^4 d^4 x^4

(1) 上述行列式是一个5阶“范德蒙行列式”, 记为D_5,
则D_5 = (x-d)(x-c)(x-b)(x-a)(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a).

(2) 将D_5按最后一列展开可以看出f(x)是关于x的4次多项式.

(3) 因为x^3在上述行列式中位于第4行第5列, 所以其代数余子式为(-1)^{4+5}M_{45}, 其中M_{45}正好就是原题目中的行列式为D.

(4) 将D_5按最后一列展开可以看出x^3的系数为x^3的代数余子式, 即
(-1)^{4+5}M_{45} = -D.
故只要算出f(x)中x^3的系数, 再取其相反数即得D.

(5) 由(1)可知
f(x) = (x-d)(x-c)(x-b)(x-a)(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a),
其中x^3的系数为
-(a+b+c+d)(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a).
可见D = (a+b+c+d)(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a).