Question

如图所示，已知过A(2，4)分别作X轴、Y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟

如图所示，已知过A(2，4)分别作X轴、Y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点.
(1)经过多少时间，线段PQ的长度为2？
(2)写出线段PQ长度的平方y于时间t之间的函数关系式和t的取值范围
(3)是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形于△MON相似？若存在，求出此时时间t；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：∵A（2，4），
∴OM=2，AM=4，
∵点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点，
∴点P的速度度2，点Q速度的4，
（1）设经过t分钟线段PQ的长度是2，则PM=2-2t，QM=4t，
在Rt△PQM中，
∵PQ2=PM2+QM2，即22=（2-2t）2+（4t）2，解得t=0（分）或t=0.4（分）．
答：当t=0或t=0.4时，线段PQ的长度为2；

（2）由（1）可知，PM=2-2t，QM=4t，
在Rt△PQM中，PQ2=PM2+QM2，即y=（2-2t）2+（4t）2，
整理得，y=20t2-8t+4（0≤t≤1）；

（3）存在．
∵A（2，4），
∴N（0，4），M（2，0），
∴ON=4，OM=2，
当△MON∽△PMQ时，
OM
MP
=
ON
MQ
，即
2
2−2t
=
4
4t
，解得t=0.5；
当△MON∽△QMP时，
OM
MQ
=
ON
MP
，即
2
4t
=
4
2−2t
，解得t=0.2．
故当t=0.5分或t=0.2分时P、Q、M构成的三角形与△MON相似．