Question

设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y。有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的解析试。

Answer 1

恒等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，可化为f(x-y)-(x-y)²-(x-y)=f(x)-x²-x
设g(x)=f(x)-x²-x，则g(x-y)=g(x)对于任意实数x,y成立.
∴g(x)为常数函数，
又g(0)=f(0)=1，
∴g(x)必定恒为1，即f(x)=x²+x+1.

Answer 2

根据f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，
令x=y,得f(x-y)=f(x)-x(2x-x+1)=f(x)-x(x+1)=f(0)=1，
所以解析式为f(x)=x(x+1)+1=x^2+x+1

Answer 3

令x=y 代人f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)可得f(x)=x2+x+1