Question

微分方程的问题

1.在高数教材上有一条“dy/dx=2xy^2,并不是所有的一阶微分方程都能这样求解，这个微分方程，不能向上面那样直接对两端积分而求出它的解。什么缘故呢？原因是方程含有未知函数y。为了解决这个问题。方程两端同时乘以dx/y^2"
1.1我很不明白，是不是我们已经承认了y是x的函数了，所以不能直接积分？
2.再有一个对比上述的一个题:f(x)=sinx-∫(上限x,下线0)(x-t)f(t)dt,其中f(x)为连续函数，求f(x)。这道题做的过程，可以把x提出来，2.1 为什么会提出来？2.2 难道把它当成常数了？2.3 如果是这样，能不能把x移到dt中，变成∫(上限x,下线0)f(t)dxt ?
请高手详细讲解，谢谢。

Answer 1

Answer 2

1 你说的这种解法叫变量分离法，这是最简单，最基本的一种解法，适用的量型相当有限，绝大部分都不能直接这么做，如：非齐次的一阶线性微分方程都不能这么做。见意看一下高数的微分方程这一章。

2 这里要注意积分变量，在如题中，积分变量是t，那么在积分过程中，被积函数中的x就是常数，可以提到积分号外。你最后一个问题当然是可以的。只是这样做估计不会有用。回答完毕

Answer 3

第一题：此题可以看成y是x的函数，也可以看成x是y的函数，在解微分方程中谁是谁的函数已不重要了，记住方程要想积分必须两边分别只能有一个未知数，应为x,y都是有关联的未知数，所以应该采用分离变量的方法（即你所采用的方法）求解。
第二题：在这题中，整体是x的函数，但在那个积分中x相当于常数，原因是积分只与t有关（在于是对dt积分）。完全可以变成∫(上限x,下线0)f(t)dxt ，但是没有必要，这与解题没有关系，因为你解题时还是要将x提出来的，懂了吗？不清楚的还可以再问我。

Answer 4

解：∵x²dy+(y-2xy)dx=0 ==>x²dy/dx+(1-2x)y=0
==>dy/y+(1/x²-2/x)dx=0
==>ln|y|-1/x-2ln|x|=ln|C| (C是积分常数)
==>ln|y|=ln|Cx²|+1/x
==>y=Cx²e^(1/x)
∴设原方程的通解为y=C(x)x²e^(1/x) (C(x)是关于x的函数)
代入原方程整理得C'(x)=e^(-1/x)/x²
==>C(x)=∫e^(-1/x)d(-1/x)
==>C(x)=e^(-1/x)+C (C是积分常数)
∴y=[e^(-1/x)+C]x²e^(1/x)=x²+Cx²e^(1/x)
故原方程的通解是y=x²+Cx²e^(1/x) (C是积分常数)