Question

已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0。

已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0。

Answer 1

a³+b³+ab-a²-b²
= (a+b)(a²+b²-ab)+ab-a²-b²
= (a+b-1)(a²+b²-ab)
= (a+b-1)[(a-b/2)²+(3/4)b²]

当 a³+b³+ab-a²-b² = 0 时，
可得：(a+b-1)[(a-b/2)²+(3/4)b²] = 0 。
已知，ab≠0 ，可得：a≠0 且 b≠0 ，
所以，(a-b/2)²≥0 ，(3/4)b²＞0 ，
可得：(a-b/2)²+(3/4)b² ＞0 ，
所以，只能是 a+b-1 = 0 ，即：a+b=1 ；
而且当 a+b=1 时，显然有：a³+b³+ab-a²-b² = 0 ，
综上可得：当ab≠0时，a+b=1 的充要条件是 a³+b³+ab-a²-b²=0 。

Answer 2

证明：
必要性：由a+b=1推出a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
由a+b=1有上式=0

充分性：由a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0推出a+b=1
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
=(a^2-ab+b^2)(a+b-1)
=(a+b-1)[(a-b/2)^2+3b^2/4]=0
因为ab≠0，所以a≠0,b≠0,所以(a-b/2)^2+3b^2/4>0
所以a+b-1=0,a+b=1

Answer 3

证明：因为a³+b³+ab-a²-b²=0 （1）
<=>(a+b)(a²+b²-ab)-(a²+b²-ab)=0
<=>（a+b-1)(a²+b²-ab)=0
此时(a²+b²-ab)不可能等于0
因为ab≠0，且其若为零，则可以把a看成b的二次函数，知道“戴尔塔）< 0
又有a与b的对称性，知
此时(a²+b²-ab)不可能等于0
<=>a+b=1
得证。

Answer 4

必要性：由a+b=1推出a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
由a+b=1有上式=0

充分性：由a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0推出a+b=1
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
=(a^2-ab+b^2)(a+b-1)
=(a+b-1)[(a-b/2)^2+3b^2/4]=0
因为ab≠0，所以a≠0,b≠0,所以(a-b/2)^2+3b^2/4>0
所以a+b-1=0,a+b=1